Question

（2014?长沙二模）如图，AB为⊙O的直径，OD⊥AC于D，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C．（1）求证：

（2014?长沙二模）如图，AB为⊙O的直径，OD⊥AC于D，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=10，OD=3，求弦AE的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴∠AOD+∠A=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥AE，
∴AD=ED，
在Rt△AOD中，OA=

1

2

AB=5，OD=3，
∴AD=

OA2?OD2

=4，
∴AE=2AD=8．