Question

已知实数a＞0且a≠1，命题p：y=loga（2-ax）在区间[0，12]上为减函数；命题q：方程ex-x+a-3=0在[0，1]有

已知实数a＞0且a≠1，命题p：y=loga（2-ax）在区间[0，12]上为减函数；命题q：方程ex-x+a-3=0在[0，1]有解．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵a＞0，∴t=2-ax为[0，

1

2

]上的减函数．
又∵y=log_a（2-ax）在区间[0，

1

2

]上为减函数，∴a＞1…（2分）
又∵2-ax＞0在[0，

1

2

]上恒成立，
∴2?

1

2

a＞0，即a＜4，
∴1＜a＜4…（4分）
∵对于?x∈[0，1]，e^x-x+a-3=0有解，
即a=-e^x+x+3在[0，1]上有解．
令f（x）=-e^x+x+3，x∈[0，1]，
∴f′（x）=-e^x+1，
当0≤x≤1时，f′（x）=-e^x+1≤0，
∴f（1）≤f（x）≤f（0），
即4-e≤f（x）≤2，
∴4-e≤a≤2…（8分）
又∵p∨q为真，p∧q为假
∴1＜a＜4-e或2＜a＜4．…（12分）