Question

计算曲面积分I=∫∫（S）2(1-x^2)dydz+8xydzdx+z(z-4x)dxdy,其中S为z-x^2+y^2(0≤z≤4)

计算曲面积分I=∫∫2(1-x^2)dydz+8xydzdx+z(z-4x)dxdy,其中S为z-x^2+y^2(0≤z≤4)并取上侧，求大神过程答案

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Answer 1

补上z=4处的面下测∑1

那么∫∫∑1 2(1-x^2)dydz+8xydzdx+z(z-4x)dxdy

= -∫∫4(4-4x)dxdy
= -∫∫(16-16x)dxdy
= -16∫∫dxdy
= -16π*4
= -64π

根据高斯定理
因为∫∫S+∑1 2(1-x^2)dydz+8xydzdx+z(z-4x)dxdy
=∫∫∫(-4x+8x+2z)dV
=2∫∫∫zdV
=2∫(0->2π)dθ ∫(0->2)dr ∫(r^2->4) zdz
=256π/5

所以，原积分=256π/5 -(-64)π
=576π/5

追问

=∫∫∫(-4x+8x+2z)dV应该是∫∫∫(-4x+8x+2z-4x)dV吧？

=2∫(0->2π)dθ ∫(0->2)dr ∫(r^2->4) zdz对r积分不应该是 ∫(0->2)rdr 吗？

还有，为什么要对z=4处的面下测∑1呢？求解答

追答

哦，对不起，算错了。我糊涂了。
补上z=4的下册，这样形成了一个封闭曲面，就可以用高斯公式了。

∫∫S+∑1 2(1-x^2)dydz+8xydzdx+z(z-4x)dxdy
= -∫∫∫(-4x+8x+2z)dV
= -2∫∫∫zdV
= -2∫(0->2π)dθ ∫(0->2)dr ∫(r^2->4) zdz
= -256π/5

I=∫∫S+∑1 2(1-x^2)dydz+8xydzdx+z(z-4x)dxdy
-∫∫∑1 2(1-x^2)dydz+8xydzdx+z(z-4x)dxdy

= -256π/5-(-64)π

=64π/5