Question

已知椭圆M的两个焦点分别为F 1 （-1，0），F 2 （1，0），P是此椭圆上的一点，且 P F 1

已知椭圆M的两个焦点分别为F 1 （-1，0），F 2 （1，0），P是此椭圆上的一点，且 P F 1 ? P F 2 =0 ， |P F 1 | ? |P F 2 | =8 ．（1）求椭圆M的方程；（2）点A是椭圆M短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，B、C是椭圆上不同于点A的两点，若△ABC的重心是椭圆的右焦点，求直线BC的方程．

Answer 1

（1）设| P F 1 |=m， | P F 2 | =n ， 由 m 2 + n 2 =4 mn=8 m+n=2a ， ∴ a= 5 ，c=1，b=2， ∴ x 2 5 + y 2 4 =1 ． （2）设B（x 1 ，y 1 ），C（x 2 ，y 2 ），A（0，2）， 由重心公式，得 x 1 + x 2 =3 y 1 + y 2 +2=0 ， ∴线段BC的中点为D（ 3 2 ，-1 ）， 将点B，C代入椭圆方程，再相减， 得 ( x 1 + x 2 )( x 1 - x 2 ) 5 + ( y 1 + y 2 )( y 1 - y 2 )  4 =0 ， ∴ k= 6 5 ， 由点斜式得6x-5y-14=0．