Question

已知：如图，锐角△ABC的两条高CD、BE相交于点O，且OB=OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）连接AO，

已知：如图，锐角△ABC的两条高CD、BE相交于点O，且OB=OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）连接AO，判断AO与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∵BE、CD是两条高， ∴∠BDC=∠CEB=90°， 又∵BC=CB， ∴△BDC≌△CEB（AAS） ∴∠EBC=∠DCB， 即∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； （2）答：AO⊥BC，理由如下： 连接AO并延长交BC于F， 在△AOB和△AOC中， AB=AC OB=OC OA=OA ， ∴△AOB≌△AOC， ∴∠BAF=∠CAF， ∴点O在∠BAC的角平分线上， ∵AB=AC， ∴AF⊥BC， 即AO⊥BC，