Question

在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点

在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为 （t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1）2（2）当t=2或 或 时，△PQB为直角三角形（3）存在t= 或t=2，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上

解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC=∠OAB=90°。 ∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠DOQ=45°。 ∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°。∴AO=AD=2，OD=2 。 ∵点P的速度为每秒 个单位长度，∴t= （秒）。 （2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°， 如图，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中， ∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°。 ∵OP= t，∴OG=PG=t。∴点P（t，t）。 又∵Q（2t，0），B（6，2）， 根据勾股定理可得： 。 ①若∠PQB=90°，则有PQ 2 +BQ 2 =PB 2 ，即：  ， 整理得：4t 2 ﹣8t=0，解得：t 1 =0（舍去），t 2 =2，∴t=2。 ②若∠PBQ=90°，则有PB 2 +QB 2 =PQ 2 ，即：  ， 整理得：t 2 ﹣10t+20=0，解得： 。 ∴当t=2或 或 时，△PQB为直角三角形。 （3）存在这样的t值。理由如下： 将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形。 ∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t， t）。 ∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t﹣6，t﹣2）。 代入 ，得：2t 2 ﹣13t+18=0，解得：t 1 = ，t 2 =2。 ∴存在t= 或t=2，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上。 （1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值。 （2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出 ，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可。 （3）存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值。