Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=1

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：AC⊥BD=O，作BE⊥PC，连接OE，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，∴BD⊥PC，BE∩BD=B，∴PC⊥面BDE，∴OE⊥PC，∴∠BE0即二面角B-PC-A的平面角．∵底面ABCD为正方形，AD=2，∴AC=2

2

，在Rt△PAC中，PA=1，AC=2

2

，PC=3，sin∠PCA=

1

3

，在Rt△OEC中，OC=

2

，sin∠PCA=

OE

OC

，∴OE=

2

3

，在Rt△BOE中，OE=

2

3

，BO=

2

，BE=

20

3