Question

在等差数列{an}中，a1=1，a5=9．（1）求a3；（2）记bn=2an，证明：数列{bn}是等比数列；（3）对于（2）中

在等差数列{an}中，a1=1，a5=9．（1）求a3；（2）记bn=2an，证明：数列{bn}是等比数列；（3）对于（2）中的Sn，求函数f（n）=Sn-t?2n（n∈N*，t为常数且t∈[0，8]）的最小值g（t）．

Answer 1

（1）a3＝

a1+a5

2

＝5---------（2分）
（2）由a₁=1，a₅=9得，a_n=2n-1
当n≥2时，

bn

bn?1

=4，
所以数列{b_n}是以2为首项，4为公比的等比数列-------（5分）
（3）由（2）可得，Sn＝

2(1?4n)

1?4

＝

2

3

(4n?1)------（7分）
所以，f(n)＝

2

3

(4n?1)?t?2n＝

2

3

(2n?

3t

4

)2?

3

8

t2?

2

3

∵t∈[0，8]，∴

3

4

t∈[0，6]，而n∈N^*
所以，当0≤t≤4时，f（n）_min=f（1）=-2t+2
当4＜t≤8时，f（n）_min=f（2）=-4t+10
故g(t)＝

?2t+2    (0≤t≤4) ?4t+10    (4＜t≤8)

----------（10分）