Question

已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，1tanA+1tanB=λtanC，则实数λ的值为______

已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG，1tanA+1tanB=λtanC，则实数λ的值为______．

Answer 1

如图，连接CG，延长交AB于D，
由于G为重心，故D为中点，
∵AG⊥BG，∴DG=

1

2

AB，
由重心的性质得，CD=3DG，即CD=

3

2

AB，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD?CD?cos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD?CD?cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+BC²=2AD²+2CD²，
∴AC²+BC²=

1

2

AB²+

9

2

AB²=5AB²，
又∵

1

tanA

+

1

tanB

=

λ

tanC

，
∴

cosA

sinA

+

cosB

sinB

=

λcosC

sinC

，
则λ=

(sinAcosB+cosAsinB)sinC

sinAsinBcosC

=

sin(A+B)sinC

sinAsinBcosC

=

sin2C

sinAsinBcosC

=

AB2

BC?AC?cosC

=

2AB2

BC2+AC2?AB2

=

2AB2

4AB2

=

1

2

．
故答案为：

1

2