Question

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点．（1）求b和c

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点．（1）求b和c （2）求函数y=f（x）的解析式；（3）在d为整数时，求过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程．

Answer 1

（1）由题意可得：函数f（x）=x³+bx²+cx+d的导数为：f′（x）=3x²+2bx+c，
因为函数f（x）=x³+bx²+cx+d有两个极值点x₁=1，x₂=2，
所以3x²+2bx+c=0的两个根为x₁=1，x₂=2，
所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，
解得：b=-

9

2

，c=6．
（2）设切点为（x₀，y₀），
由（1）可得：f′（x）=3x²-9x+6，
因为直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点，
所以f′（x₀）=6，即x₀=3或者x₀=0，
当x₀=3时，y₀=19，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x³?

9

2

x²+6x+

27

2

．
当x₀=0时，y₀=1，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x³?

9

2

x²+6x+1．
（3）由题意可得：f（x）=x³?

9

2

x²+6x+1，并且P（0，1），
设切点的坐标为（x₁，y₁），
所以K切＝

y1?1

x1

=

x 3 1 ? 9 2 x 2 1  +6x1

x1

=

x

2 1

?

9

2

x1+6…①．
又因为f′（x）=3x²-9x+6，
所以K_切=3x₁²-9x₁+6…②，
由①②可得：x1＝

9

4

或者x1＝0(舍去)，
所以切点为（

9

4

，

199

64

），所以K切＝

15

16

，
所以切线方程为15x-16y+16=0．
所以过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程为15x-16y+16=0．