Question

将y=y（x）所满足的微分方程y″+（x+e2y）y′3=0，变换为x=x（y）所满足的微分方程，求此微分方程的通解

将y=y（x）所满足的微分方程y″+（x+e2y）y′3=0，变换为x=x（y）所满足的微分方程，求此微分方程的通解．

Answer 1

由反函数的求导公式知

dx

dy

＝

1

y′

，于是有

d2x

dy2

＝

d

dy

(

dx

dy

)=

d

dx

(

1

y′

)?

dx

dy

=

?y″

y′2

?

1

y′

＝?

y″

(y′)3

．
代入原微分方程y″+（x+e^2y）y′³=0
得y″-y=sinx．（*）
方程（*）所对应的齐次方程y″-y=0的特征方程为r²-1=0，
特征值为 r_1，2 =±1，
通解为Y＝C1ex+C2e?x．
由于方程（*）的非齐次项为f（x）=sinx=e⁰sinx，且i不是特征根，
故设方程（*）的特解为y^*=Acosx+Bsinx，
代入方程（*），求得A＝0，B＝?

1

2

，
故y*＝?

1

2

sinx，
从而y″-y=sinx的通解是
y＝Y+y*＝C1ex+C2e?x?

1

2

sinx．
由y(0)＝0，y′(0)＝

3

2

，得C₁=1，C₂=-1．
故所求初值问题的解为
y＝ex?e?x?

1

2

sinx．