Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，（1）以向量AB方向为侧视

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，（1）以向量AB方向为侧视方向，侧视图是什么形状？说明理由并画出侧视图．（2）求证：CN∥平面AMD；（3）求该几何体的体积．

Answer 1

解：（1）因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，BC=MD=NB，所以侧视图是正方形及其两条对角线；如下科所示
 …（4分）
（2）∵ABCD是正方形，BC∥AD，∴BC∥平面AMD；
又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB，∴NB∥平面AMD，
所以平面BNC∥平面AMD，故CN∥平面AMD；…（8分）
（3）连接AC、BD，交于O点，∵ABCD是正方形，∴AO⊥BD，
又NB⊥平面ABCD，AO⊥NB，∴AO⊥平面MDBN，…（10分）
因为矩形MDBN的面积S＝MD×BD＝

2

，
所以四棱锥A-MDBN的体积V＝

1

3

S?AO＝

1

3

同理四棱锥C-MDBN的体积为

1

3

，故该几何体的体积为

2

3

．…（12分）