Question

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，E为BB1中点，∠A1DE=90°．（I）求证：CD⊥平面A

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，E为BB1中点，∠A1DE=90°．（I）求证：CD⊥平面A1ABB1；（II）求二面角C-A1E-D的大小．

Answer 1

解答：（I）证明：连接AE．在△ABC中，用勾股定理，求出AB=2

2

         
在△A₁B₁E中，用勾股定理，求出AE=3．
在△AA₁D中，有：A₁D²=AA₁²+AD²
在△BDE中，有：DE²=BE²+BD²
在△A₁DE中，有AE²=A₁D²+DE²=（AA₁²+AD²）+（BE²+BD²）
AB=AD+BD（与上式联立，解方程组）
可以求出：AD=BD=

2

．即D点是AB的中点，CD是等腰RT△ABC的斜边AB上的中线，
也就是斜边上的高（CD⊥AB）．
又在直三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AA1⊥底面ABC，又CD∈面ABC，则AA₁⊥CD．
综合上述条件，CD⊥AB，CD⊥AA1，且AA₁∩AB=A．，有CD⊥面A₁ABB₁
（II）过D作DH⊥A₁E于H，AC=BC=AA₁=2，A₁E=3，DE=

3

，A₁D=

6

，DH=

3 ? 6

3

=

2

所以，二面角C-A₁E-D的正切值为：

2

2

=1，二面角C-A₁E-D的大小为45°