Question

已知函数f(x)＝ln(1+x)x．?（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；?（2）设h（x）=x?f（x）-x-ax3在

已知函数f(x)＝ln(1+x)x．?（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；?（2）设h（x）=x?f（x）-x-ax3在（0，2）上有极值，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由已知函数求导得f′(x)＝

x x+1 ?ln(1+x)

x2

设g(x)＝

x

x+1

?ln(1+x)，则g′(x)＝

1

(x+1)2

?

1

x+1

＝

?x

(x+1)2

＜0?
∴g（x）在（0，+∞）上递减，g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，+∞）上单调递减．?
（2）由h（x）=xf（x）-x-ax³可得，h（x）=ln（1+x）-x-ax³
h′(x)＝

1

x+1

?1?3ax2＝

?x(3ax2+3ax+1)

x+1

?
若a≥0，任给x∈（0，+∞），

1

x+1

?1＜0，-3ax²＜0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，则f（x）在（0，2）无极值；?
若a＜0，h（x）=x?f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值的充要条件是
φ（x）=3ax²+3ax+1在（0，2）上有零点，?
∴φ（0）?φ（2）＜0，解得a＜?

1

18

综上所述，a的取值范围是（-∞，?

1

18

）．