已知:a,b,c>0,求证:a（b^2+c^2）+b（a^2+c^2）+c（a^2+b^2）≥6a
已知:a,b,c>0,求证:a（b^2+c^2）+b（a^2+c^2）+c（a^2+b^2）≥6abc...
已知:a,b,c>0,求证:a（b^2+c^2）+b（a^2+c^2）+c（a^2+b^2）≥6abc
展开
展开全部
a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c（a^2+b^2）
=a(b^2+c^2-2bc+2bc)+b(c^2+a^2-2ac+2ac)+c（a^2+b^2-2ab+2ab）
=a(b-c)^2+2abc+b(c-a)^2+2abc+c（a-c)^2+2abc
=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c（a-c)^2+6abc
因为a>0,b>0,c>0，
所以a(b-c)^2≥0,b(c-a)^2≥0,c（a-c)^2≥0
所以a(b-c)^2+b(c-a)^2+c（a-c)^2≥0
所以a(b-c)^2+b(c-a)^2+c（a-c)^2+6abc≥6abc
即:a（b^2+c^2）+b（a^2+c^2）+c（a^2+b^2）≥6abc
=a(b^2+c^2-2bc+2bc)+b(c^2+a^2-2ac+2ac)+c（a^2+b^2-2ab+2ab）
=a(b-c)^2+2abc+b(c-a)^2+2abc+c（a-c)^2+2abc
=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c（a-c)^2+6abc
因为a>0,b>0,c>0，
所以a(b-c)^2≥0,b(c-a)^2≥0,c（a-c)^2≥0
所以a(b-c)^2+b(c-a)^2+c（a-c)^2≥0
所以a(b-c)^2+b(c-a)^2+c（a-c)^2+6abc≥6abc
即:a（b^2+c^2）+b（a^2+c^2）+c（a^2+b^2）≥6abc
本回答被提问者和网友采纳
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
