三重积分运算求详细解析 画图 利用直角坐标系 50
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图形是，
顶点在原点开口向上的圆锥面
上面扣着一个
顶点在(0,0,6)开口向下的碗(旋转抛物面)。
交线是z=2上的圆xx+yy=4。
用柱面坐标得到
原式=∫〔0到2π〕dt∫〔0到2〕rdr∫〔r到6-rr〕【rcost*rsint*z】dz
观察其中对t的积分可知结果为0。
用直角坐标，原式
=∫〔-2到2〕xdx∫〔-√4-xx到√4-xx〕ydy∫〔√xx+yy到6-xx-yy〕zdz
=∫〔-2到2〕xdx∫〔-√4-xx到√4-xx〕(y/2)*【(6-xx-yy)^2-(xx+yy)】dy
=∫〔-2到2〕xdx∫〔-√4-xx到√4-xx〕
(y/2)*【36-13(xx+yy)+(xx+yy)^2】dy
注意到对y积分时，被积函数关于y是奇函数，
所以得到原式=∫〔-2到2〕x*0dx
=0。
顶点在原点开口向上的圆锥面
上面扣着一个
顶点在(0,0,6)开口向下的碗(旋转抛物面)。
交线是z=2上的圆xx+yy=4。
用柱面坐标得到
原式=∫〔0到2π〕dt∫〔0到2〕rdr∫〔r到6-rr〕【rcost*rsint*z】dz
观察其中对t的积分可知结果为0。
用直角坐标，原式
=∫〔-2到2〕xdx∫〔-√4-xx到√4-xx〕ydy∫〔√xx+yy到6-xx-yy〕zdz
=∫〔-2到2〕xdx∫〔-√4-xx到√4-xx〕(y/2)*【(6-xx-yy)^2-(xx+yy)】dy
=∫〔-2到2〕xdx∫〔-√4-xx到√4-xx〕
(y/2)*【36-13(xx+yy)+(xx+yy)^2】dy
注意到对y积分时，被积函数关于y是奇函数，
所以得到原式=∫〔-2到2〕x*0dx
=0。
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答案应该是0. xyz在Ω里，当xz确定时，y与-y相反，就是说xyz与x(-y)z抵消了。
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追问
能不能写出详细点的啊
追答
这题利用积分区域对称性就可以判定结果为0。如果用柱面坐标也比较容易解答，但是你非要直角坐标，估计写一页纸也写不完。
剩下的你自己慢慢带入吧，都是些机械性的，没技术含量，只是很长很多。
从这一步就看出来，因为y都是偶次方，带入之后抵消，得0
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