Question

设x,y,z∈R ,且x y z=1,试求f=x^4/(y(1-y^2))+ y^4/(z(1-z^2))+z^4/(x(1-x^2))的最小值

是均值不等式这一块内容，答案里面是1/8,但没有过程，

Answer 1

构造下凸函
f(s,t)=s^4/t(1-t^2)，则
f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)≥3f[(x+y+z)/3,(x+y+z)/3]
=3f(1/3,1/3)，
∴x^4/y(1-y^2)+y^4/z(1-z^2)+z^4/x(1-x^2)
≥3×[(1/3)^4/((1/3)×(1-(1/3)^2)]
=1/8，
故所求最小值为: 1/8。