求解线性方程组的通解 30
一、线性方程组概念
1、一般我们所说的线性方程组，一般有未知数（一次）、系数、等号等组成，如下所示：
2、线性方程组可以转化成矩阵形式，如下所示：
3、将等式右端，加入矩阵，形成增广矩阵能有效的求出线性方程组的解，如下：
二、方程组的通解
1、方程组还可以写成如下所示的向量形式：
2、方程组通解的概念：
3、求方程组通解的基本方法，一般有换位变换，数乘变换，倍加变换等，如下：
三、行阶梯方程
1、利用初等行变换求解以下方程组：
2、化简为行阶梯方程组：
3、行阶梯方程组概念，如下图所示。
四、经典例题——求通解
1、求解下题方程组的通解：
2、转换成，行阶梯方程组，并定义自由未知数，因此，可以得出该题通解，如下：
系数矩阵化最简行
1 1 1 1
2 3 1 1
4 5 3 3
第2行,第3行, 加上第1行×-2,-4
1 1 1 1
0 1 -1 -1
0 1 -1 -1
第1行,第3行, 加上第2行×-1,-1
1 0 2 2
0 1 -1 -1
0 0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 2 2 0 0
0 1 -1 -1 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
第1行,第2行, 加上第3行×-2,1
1 0 0 2 -2 0
0 1 0 -1 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
第1行,第2行, 加上第4行×-2,1
1 0 0 0 -2 -2
0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
得到基础解系：
(-2,1,1,0)T
(-2,1,0,1)T
因此通解是
C1(-2,1,1,0)T + C2(-2,1,0,1)T
【解答】
对增广矩阵（A，b）做初等行变换
1、求基础解系。
令x3=5，得x1=-1，x2=3，x3=0，α=(-1，3，0，5)T
2、求特解
令x3=0，得x1=4/5，x2=3/5，x4=0，β=(4/5，3/5，0，0)T
3、写出通解
根据通解结构，得通解为β+kα，k为任意常数
newmanhero 2015年5月23日22:32:45
希望对你有所帮助，望采纳。
用小学初中的知识来做的话,这个时候我们就是要消元.
把x1用其他未知量表示出来带入其它方程化简,这个时候就少了一个未知量,少了一个方程.
再亦同理,把x2,x3.....带入其它方程化简,最后就剩下了一个方程,里面可能有多个量.
因为我们只要一个任意的解就可以了,所以这个时候你随便赋值未知量满足方程就可以.
回返带入得到一组未知量的解.这个就可以作为通解. (如果方程和未知量不多的具体题目中可以这么算)
线性代数课本里面的方法就是高斯消元法.
把方程进行排列之后,系数组成矩阵,从底部到高进行带入消减,(其实就类似于上面的过程)
最后得到一个k*k的未知量系数组成的矩阵,加上右边的数值组成增光矩阵.
这个时候就是一个k元一次方程组,消元可以得到唯一的解,是关于x1,x2,...,x(k)的.
再对x(k+1)到x(n)进行一个简单赋值,就可以得到一组通解.
PS:如果你看不懂书上的过程你就找一个具体的方程组,按照书上的过程一步一步的实验几次,你就明白了,只是盲目的看容易花眼.O(∩_∩)O~
