Question

已知函数f(x)=(x+a)e^x,其中e为自然对数的底数(1)若函数f(x)是区间[-3,+∞)上的增函数，求实数a的取值范

已知函数f(x)=(x+a)e^x,其中e为自然对数的底数(1)若函数f(x)是区间[-3,+∞)上的增函数，求实数a的取值范围。(2)若f(x)>=e^2在x∈[0,2]时恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

(1)f(x)=(x+a)e^x
f'(x)=e^x+(x+a)e^x
x≥3时，f'(x)=e^x+(x+a)e^x>0
∵e^x恒大于0
∴x+1+a>0,
∴a>-4
(2)f'(x)=e^x+(x+a)e^x
驻点：1+x+a=0→x₀=-a-1，可以判断f(x₀)为最小值。
如0≤-a-1≤2，即a≥1，或a≤-1
则，f(-a-1)=-e(-a-1)≥e²,无解
∴驻点不在[0,2]区间内。

x₀<0,f(x)单调递增，f(x)≥f(0)=aeº≥e²→a≥e² x₀=-a-1≤-e²-1<0,成立
x₀>2,f(x)单调递减，f(x)≥f(2)=(2+a)e²≥e²→a≥-1,x₀=-a-1≤-2,不成立
∴ a≥e²

Answer 2

f(x)=(x+a)e^x

f ′(x)=e^x+(x+a)e^x=(x+a+1)e^x

第一问：
∵在[-3，+无穷大）上是增函数
∴-a-1≤-3
a≥2

第二问：
∵f ′(x)=(x+a+1)e^x
∴减区间（-∞，-a-1），增区间（-a-1，+∞）
f(x)=(x+a)e^x≥e²在x∈[0,2]时恒成立

如果-a-1≤0，即a≥-1，则在[0,2]单调增，
最小值f(0)=a*e^0=a≥e²
∴a≥e²

如果0＜-a-1＜2，即-3＜a＜-1，则在区间[0,2]先减后增，
最小值f(-a-1)=(-a-1+a)e^(-a-1)=-e^(-a-1)＜0，不符合要求

如果-a-1≥2，即a≤-3，则在区间[0,2]单调减
最小值f(2)=(2+a)e²≥e²
2+a≥1，a≥-1不符合a≤-3要求

∴a≥e²