Question

求函数f(x,y)=x2+y2+2z-4y+10在x2+y2=20下的最大值与最小值

Answer 1

依题意可设
x=2√5cosθ，y=2√5sinθ.
∴f(x，y)=x²+y²+2x-4y+10
=(2√5cosθ)²+(2√5sinθ)²+2(2√5cosθ)-4(2√5sinθ)+10
=30+20sin(θ-φ)
(其中，tanφ=2)
∴sin(θ-φ)=1时，
最大值f(x，y)|max=50;
sin(θ-φ)=-1时，
最小值f(x，y)|min=10。

本题目用柯西不等式解答更简洁:
f(x，y)=x²+y²+2x-4y+10
=30+2x-4y.
而20=x²+y²
=(2x)²/4+(-4y)²/16
≥(2x-4y)²/(4+16)
→-20≤2x-4y≤20
→10≤30+2x-4y≤50.
∴f(x，y)|max=50;
且f(x，y)|min=10。