Question

设二次函数f(x)=x^2+x.当 x∈[n,n+1]( n∈N+）时，拜托各位大神

设二次函数f(x)=x^2+x.当 x∈[n,n+1]( n∈N+）时，f(x)的所有整数值的个数为g(n) (1)求g(n)的表达式 (2)设an=（2n^3+3n^ 2）\g(n)(n∈N+),Sn=a1-a2+a3-a4+……+(-1)^(n-1)an,求Sn

Answer 1

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。 例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0） 当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2； 当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)； ∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n； 两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n； 化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2 Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 两式相减 1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n 错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）： S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1） 在（1）的左右两边同时乘上a。 得到等式（2）如下： aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2） 用（1）—（2），得到等式（3）如下： （1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3） （1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。 （1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。 例子:求和Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方（x不等于0） 解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n平方 当x不等于1时，Sn=Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方 所以xSn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方……..+(2n-1)乘以x的n次方 所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x平方＋x三次方＋。。。。。+x的n-2次方)－（2n-1）乘以x的n次方。 化简得：Sn=(2n-1)乘以x得n+1次方 －（2n+1）乘以x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方 Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两式相减得 -Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法 这个在求等比数列求和公式时就用了 Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 两式相减 1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2

Answer 2

解：（1）当当 x∈[n,n+1]( n∈N+）时，f(x)的所有整数值的个数g(n)= (n+1)+ (n+1).- n-n+1 故：. g(n)=2n+3，n∈N+ (2) an=（2n+3n）/g(n)= n 故：Sn=a1-a2+a3-a4+……+(-1)^(n-1)an =1-2+3-4+…+(-1)^(n-1)an 当n=2k，k∈N+时， Sn=1-2+3-4+…+(n-1)-n =-3-7-11-…-（2n-1） =-（3+2n-1）n/4 =-n(n+1)/2 当n=2k+1，k∈N+时， Sn=1-2+3-4+…+(n-2) -(n-1)+n =-3-7-11-…-（2n-3）+n =-（3+2n-3）(n-1)/4+n =-n(n-1)/2+n = n(n+1)/2