Question

求这两题通解特解的详细过程

越详细越好 谢谢！

Answer 1

1.解：∵y'+2xy=xe^(-x^2)
==>dy+2xydx=xe^(-x^2)dx (等式两端同乘dx)
==>e^(x^2)dy+2xye^(x^2)dx=xdx (等式两端同乘e^(x^2))
==>d(ye^(x^2))=d(x^2/2)
==>∫d(ye^(x^2))=∫d(x^2/2)
==>ye^(x^2)=x^2/2+C (C是常数)
==>y=(x^2/2+C)e^(-x^2)
∴原方程的通解是y=(x^2/2+C)e^(-x^2)
∵当x=0时，y=2
∴代入通解，得C=2
故原方程满足所给初始条件的特解是y=(x^2/2+2)e^(-x^2)；
2.解：∵齐次方程y"-y=0的特解是r^2-1=0，则r=±1
∴此齐次方程的通解是y=C1e^x+C2e^(-x) (C1,C2是常数)
∵设原方程的解为y=Ax+B，代入原方程得 -Ax-B=x+1
==>-A=1，-B=1
==>A=B=-1
∴y=-(x+1)是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=C1e^x+C2e^(-x)-(x+1)。