Question

高等数学 关于积分的证明 划线部分不太明白 为什么是恒正或恒负

Answer 1

因为f只有一个零点 所以f在x1之前和x1之后一定会变号
①sin(x-x1)中的x在x1前一定为负在x1后一定为正号
②当f在x1之前为正 在x1之后为负时 f×sin(x-x1) 在x1之前为负.在x1之后也为负 即恒负
③当f在x1之前为负 在x1之后为正时 f×sin(x-x1) 在x1之前为正.在x1之后也为正 即恒正
根据评论者的问题做如下补充：sinx的图像在(0，pi)内是恒正的，如果f(x)除了x1这个零点以外恒正或者恒负那么(0，pi)内f(x)*sinx的积分就不可能是零了，所以f(x)在（0，pi）上一定是单调的。

Answer 2

在（0，π）中，x ≠ x1，则 x - x1 ≠ 0 ， sin（x - x1）≠0；
x1是f（x）在（0，π）中唯一的零点，所以f（x）≠0.
2个不等于0的数相乘，不是恒正就是恒负，唯独不能等于0

Answer 3

上面那人写的问题很大，居然还有点赞的。忽略了题目中的一个条件，f（x）sinx在0到pi上的积分为0，sinx在区间内是恒正的，在只有一个零点的情况下，f（x）必然在（0，x1）和（x1，pi）上取不同的符号。sin（x-x1）也在这两区间内取不同符号，则sin（x-x1）f（x）恒正或恒负。