Question

已知x/x^2+x+1=m，求x^2/x^4+x^2+1的值

Answer 1

解：
x/(x²+x+1)=m
分类讨论：
(1)
x=0时，m=0/(0²+0+1)=0
x²/(x⁴+x²+1)=0²/(0⁴+0²+1)=0
(2)
x≠0时，m=x/(x²+x+1)，m≠0
x/(x²+x+1)=m，等式左边分子、分母同除以x
1/(x+1+ 1/x)=m
x+ 1/x=1/m -1=(1-m)/m
x²/(x⁴+x²+1)
=1/(x²+1 +1/x²) (分子、分母同除以x²)
=1/[(x+ 1/x)² -1]
=1/[(1-m)²/m² -1]
=1/[(1-2m)/m²]
=m²/(1-2m)
m=0时，m²/(1-2m)=0²/(1-2·0)=0，同样满足表达式。
综上，得：x²/(x⁴+x²+1) 的值为m²/(1-2m)

解题思路：
①、本题已知等式的右边不是常数，而是参量m，又x=0时，等式左边的分式有意义，因此需要对x的值进行分类讨论。
②、x≠0时，由已知等式解得x+1/x，用m表示。那么就在所求的分式中构造x+1/x，解得关于m的表达式。
③、将m=0代入，发现同样满足表达式，因此结果的表达式可以统一成一个。
④、注意：一定不要遗漏x=0时的情况，不能直接等式左边分子、分母同除以x。

Answer 2

x=mx²+mx+m
mx²+m=(1-m)x
两边平方
m²x^4+2m²x²+m²=(1-2m+m²)x²
两边减去m²x²
m²x^4+m²x²+m²=(1-2m)x²
m²(x^4+x²+1)=(1-2m)x²
所以原式=m²/(1-2m)
m显然不等于1/2,否则x+1/x=1/m-1=1,x无实数解.

Answer 3

解：本题运用分式的分子和分母同时除以同一个不为零的数，分式的值不变。
x/[x²+x+1]=m，上下同时除以x得：
1/[x+1/x+1]=m
[x+1/x+1]=1/m
x+1/x=1/m -1
x²/[x^4+x²+1]
=1/[1+x²+1/x²]
=1/[1+(x +1/x)²-2]
=1/[ (x +1/x)²-1]
=1/[ (1/m -1)²-1]
=m²/[(m-1)²-m²]
=m²/[(m-1)²-m²]
=m²/[ 1 -2m ]

Answer 4

（a+b+c）^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
a^2+b^2+c^2=（a+b+c）^2 -(2ab+2ac+2bc)

x^2/x^4+x^2+1
=(x/x^2+x+1)^2 - 2(x/x^2)x-2x-2(x/x^2)
=m^2 -2m

-2(x/x^2)x-2x-2(x/x^2) = -2-2x-2(x/x^2)=-2m