Question

（2015遵义）在RT△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F。

（1）求证：△AEF≌△DEB
（2）证明四边形ADCF是菱形。
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积。

Answer 1

（1）证明：因为AF平行BC
所以角AFE=角CBE
角EAF=角BDE
因为E是AD的中点
所以AE=DE
所以三角形AEF和三角形DEB全等（AAS)
(2)证明：因为三角形ABC是直角三角形
D是BC的中点
所以AD是直角三角形ABC的中线
所以AD=BD=CD=1/2BC
因为三角形AEF和三角形DEB全等（AAS)
所以AF=BD
所以AF=CD
因为AF平行BC
所以四边形ADCF是平行四边形
所以四边形ADCF是菱形
（3）解：因为四边形ADCF是菱形
所以S菱形ADCF=2S三角形ACD
因为D是AB的中点
所以BD=CD=1/2BC
所以S三角形ABC=2S三角形ACD
所以S菱形ADCF=S三角形ABC
因为三角形ABC是直角三角形
所以S三角形ABC=1/2AC*AB
因为AC=4 AB=5
所以S三角形ABC=10
所以S菱形ADCF=10
所以菱形ADCF=10