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已知:如图,在Rt三角形ABC中,∠ACB=90度,∠BAC=60度,BC的垂直平分线分别亦BC和
证明:
∵DE⊥BC ,∠ACB=90°
∴DE∥AC ,∠BAC=∠BED=∠FEA=60°
∵BD=DC ,DE∥AC
∴BE=EA
∴在Rt△ABC中CE=EA=BE
∵在△AEC中,∠BAC=60°, CE=EA
∴△AEC为等边三角形,即CE=AC
∵在△AEF中,∠FEA=60° ,CE=EA=AF
∴△AEF为等边三角形,即FE=AF
∵在四边形ACEF中FE=AF=AC=CE
∴四边形ACEF为菱形
扩展资料:
菱形判定定理:
在一个平面内,有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
① 四条边都相等的四边形是菱形。
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形)。
③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
垂直平分线:
经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,又称“中垂线”。
如图1,N是AB的中点,过N点作MN⊥AB,则,MN为AB的垂直平分线。
参考资料:百度百科—中垂线 百度百科—菱形判定定理
证明:
∵∠ACE=90°,DE垂直平分BC,
∴DF∥AC,AE=CE,
∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BAC=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠BAC=∠ACE,
∴AE=CE=AE,
∵∠BAC=60°,
∴ΔACE是等边三角形,
∴∠AEF=∠CAE=60°,
∵AF=CE=AE,
∴ΔAEF是等边三角形,
∴EF=AE=AF=AC=CE,
∴四边形ACEF是菱形。
扩展资料:
菱形(rhombus)指的是在一个平面内,一组邻边相等的平行四边形。四边都相等的四边形。菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角;菱形的四条边都相等;菱形既是轴对称图形(两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线),也是中心对称图形(对称中心是其中心,即两对角线的交点);在有一个角是60°角的菱形中,较短的对角线等于边长,较长的对角线是较短的对角线的√3倍。依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样,中点四边形的形状总是平行四边形。菱形的中点四边形总是矩形。
参考资料:平行四边形_百度百科
证明:∵∠ACE=90°,DE垂直平分BC,
∴DF∥AC,AE=CE,
∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BAC=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠BAC=∠ACE,
∴AE=CE=AE,
∵∠BAC=60°,
∴ΔACE是等边三角形,
∴∠AEF=∠CAE=60°,
∵AF=CE=AE,
∴ΔAEF是等边三角形,
∴EF=AE=AF=AC=CE,
∴四边形ACEF是菱形.
扩展资料
在同一平面内,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,四边都相等的四边形是菱形,菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角,菱形是轴对称图形,对称轴有2条。
经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)(英文:perpendicular bisector) 垂直平分线,简称"中垂线",是初中几何学科中非常重要的一部分内容。
用一条直线把一条线段从中间分成相等的二条线段,并且与所分的线段垂直,这条线直线就叫这条线段的垂直平分线。通常要用圆规和直尺作图才能作出。 中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合,中垂线是线段的一条对称轴。
∴DF∥AC,AE=CE,
∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BAC=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠BAC=∠ACE,
∴AE=CE=AE,
∵∠BAC=60°,
∴ΔACE是等边三角形,
∴∠AEF=∠CAE=60°,
∵AF=CE=AE,
∴ΔAEF是等边三角形,
∴EF=AE=AF=AC=CE,
∴四边形ACEF是菱形.