Question

高中数学数列，30题第二问，它答案给出的方法是两边同时减3，然后右边分子有理化，然后再用不等式关系

高中数学数列，30题第二问，它答案给出的方法是两边同时减3，然后右边分子有理化，然后再用不等式关系做的。请问这思路说怎么想到的？

Answer 1

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Answer 2

高中知识就是熟能生巧，你看得多了，积累的多了，看到这样的题型脑子就会出现积累的各种方法。这个在数学中体现最明显，其中数列，圆锥曲线最具有代表性。前期的学习和后段时间的复习就是为了锻炼这种思维能力，和积累解题的思路，记住并理解，才是不变应万变，希望可以对你的学习有所帮助 。本人高考数学132，重庆09年。

追问

那看到这题应该想到啥？

追答

首先根据题干，要去构造一个像等比数列的样子，需求证中有加法运算，先得去除，所以会同时减3。关于有理化，同时减3后出现了Xn -3，不等式两边同时乘以Xn +3 ，就会把根号去掉，不等式右边也出现了题干中a1·q的n-1次方的结构。
这种求证题，就是分析需要求证的东西，就是先让他构造成与已知的结构差不多。

Answer 3

"两边同时减3",是因为要证明的不等式的简单变形，而且变形后的结论-（2/3）^(n-1)=<xn-3<=（2/3）^(n-1)，其中的（2/3）^(n-1)就贴近题设（开头两行介绍的“引理”），假定q=2/3（按照思路的逻辑顺序，现在还是一种假定），a1=1，an>=qa(下标n-1)，就有了an>=a1*q^（n-1）=（2/3）^(n-1)。而此时看不等式的中间项xn-3，由于x1-3=4-3=1正好合上a1，那么就令xn-3=an，完全合上题目开头介绍的“引理”，至此猜想成立。由数列{xn}转化为研究数列{xn-3}（设其为数列{bn}，bn=xn-3），使其有bn>=qb(下标n-1)，q=2/3
“右边分子有理化”不看你写的答案提示我也想不到，根据xn=（2xn-1+3）^(1/2)
变形出（xn-3）/[x（下标n-1）-3]不容易想，恐怕惟有“右边分子有理化”！
也就是这么个思路，这个题若只单单从条件入手推结论，找不到方向，从结论倒过来往题设靠拢着推理却简单些。
我做此题时卡在右边分子有理化上了，感觉竞赛题才有用上这个的。