Question

高等数学中，定积分的积分变量取值范围是开区间还是闭区间？谢谢！

就拿教材上一个最基本的定积分表示法来讲，∫(下限是a,上限是b)f(x)dx。

对于这个定积分而言，积分变量x的取值范围很明显是a到b。
那么我的疑问是x的取值范围包含a和b吗？
是x属于(a,b)，还是x属于[a,b]？
谢谢大家的帮助！

Answer 1

定积分的积分变量取值范围可以是开区间，也可以是闭区间。因为定积分是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

定积分的相关定理：

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

Answer 2

答：
1、从你的疑问看出，你对积分定义没有理解，你的理解仅仅是从公式本身！！
2、∫（a,b） f(x)dx的本质是：lim(n→+∞)Σ(1,n) f(ξi)Δdi，（其中Δdi是区间[a,b]的微小长度平均值），从这里可以看出，从数值上来看，需要把[a,b]无限”等份“，那么区间是闭区间，但是实际上，这只是理解定义，因为当你无限细分的时候，[a,b]和（a,b）已经没有区别了！我们经常会定义成[a,b]仅仅是为了表述在闭区间内连续方便，但是对于所有初等函数，在其定义域内都是连续的，因此，从这个层面上来讲，（a,b）是完全没有问题的。
3、等你学习的深入了之后，还会学到广义积分，那个时候就又会加深理解了，目前，你就按照当前的定义认为是：[a,b]即可

Answer 3

这是一个比较细节的问题，我认为开区间上的定积分可以依赖闭区间上的定积分来理解。

同济版书中绝大多数的积分都是闭区间上的积分，这是因为书中提到了一个定理，闭区间上的连续函数必定可积。
对于开区间上函数的积分，我们先在开区间端点处随意补齐两个端点值形成使函数在闭区间上有定义。然后，由于开区间上的连续性不能保证函数有界，而如果函数无界的话，对于同济书中关于定积分的定义，是一定会导致定积分不存在的。这种情况，就是同济书中后面所学的广义积分。而如果开区间上的函数有界，我们只需要在区间两侧的端点补上函数趋近于两个端点的极限值，形成闭区间上的连续函数，必然可积。并且根据定积分的定义，端点处的一个值并不影响区间整体的积分，从而在这种情况下开区间上的积分就等于闭区间上的积分。

Answer 4

看了看，总结一下：
1.同济书上是闭区间
2.如果要积分 开区间，必须保证函数有界，不能是无穷。

Answer 5

有界，间断点有限，可积，间断点是第一类间断点或无穷间断点，无原函数