Question

线性代数，第4题。怎么做？急

Answer 1

证明r(A+E)<n即可， 该不等式显然，因为A不等于E

追问

啊抱歉，问错了。是想问第三题。

追答

A^2=0, 带入A的表达式及利用矩阵乘法的结合律即可。

显然a是A的特征向量，对应的特征值为0

显然A没有非零的特征值，否则与A^2=0相矛盾。

追问

我明白你的意思了
A的特征值全为0

追答

求解特征值0对应的特征向量即求解下述方程组:
Ax=0,
由于A的秩为1,故上述方程组的解空间为n-1维的

追问

但是特征向量如何表达？

追答

找出与b正交的n-1个向量即可，已经找到一个a

或者假设b的首个分量非零，那么逐次分别令x的第2,…，n分量为1, 就可以获得n-1个和b正交的特征向量

追问

请问这个怎么证明呀？

追答

假设A可逆，则由AB=0得B=0,矛盾，所以A不可逆。类似的可以说明B不可逆。
所以|A|=|B|=0