Question

常微分方程求解

Answer 1

为便于书写，记指数函数为exp()。若令x为因变量，y为自变量，记p=dx/dy，那么dp/dy=d²x/dy²，则：
y`=dy/dx=1/(dx/dy)=1/p
y``=d(dy/dx)/dx=d(1/p)/dx=(dy/dx)·[d(1/p)/dy]=(1/p)[(-1/p²)·(dp/dy)]=(-1/p³)(dp/dy)
将上述结果代入原方程得到：
(-1/p³)(dp/dy)+[x+exp(2y)](1/p)³=0
整理得到：
d²x/dy²-x=exp(2y)
这是个二阶常系数线性非齐次方程，其对应的齐次方程的特征方程为：r²-1=0；
特征根为r=±1；
根据exp(2y)的形式，假设方程的一个特解为(Ay+B)exp(2y)，代入方程得到：
[4Aexp(2y)+4(Ay+B)exp(2y)]-[(Ay+B)exp(2y)]=exp(2y)

整理：4A+3Ay+3B=1

显然A=0，B=1/3，所以方程的一个特解为(1/3)exp(2y)
得到方程的通解：
x=C1·exp(y)+C2·exp(-y)+(1/3)exp(2y)………………【C1、C2为任意常数】

追问

能不能用笔写下来呀？exp 是什么。。。

追答

exp(y)就表示e的y次方，计算机中常用exp表示指数函数。

纸上的内容稍等一下。

追问

好的，多谢

追答

Answer 2