Question

求函数y=sinx+ 2/sinx （0<x<π）的值域

过程也说明一下，谢谢

Answer 1

楼上的解法极其乱来。。。
正确的解法应该是这样的：
因为0<x<π
所以0<sinx≤1
令t=sinx
则y=t+2/t (0<t≤1)
下面开始求0<t≤1时函数的单调性
令0<t1<t2≤1
则y1=t1+2/t1
y2=t2+2/t2
y1-y2
=t1+2/t1-t2-2/t2
=t1-t2-(2/t2-2/t1)
=(t1-t2)-(2t1-2t2)/t1t2
=(t1-t2)[1-2/t1t2]
因为0<t1<t2≤1
所以t1-t2<0
0<t1t2<1
所以1/t1t2>1
2/t1t2>2
所以1-2/t1t2<0
所以(t1-t2)[1-2/t1t2]>0
所以y1-y2>0，y1>y2
因为t1<t2
所以0<t≤1内函数是递减的
t趋向于零时有函数最大值
t=1时有函数的最小值
t=1，y=1+1=2
t趋向于零，y趋向于正2无穷大，
所以值域为y≥2

Answer 2

y=sinx+ 2/sinx>=2√2 （0<x<π）
又sinx= 2/sinx 所以，sinx=√2 不可取
所以y>2√2
值域为（2√2，+∞）