Question

设F1，F2分别是椭圆x^2+y^2/b^2=1(0＜b＜1)的左右焦点，过F1的直线交椭圆于AB两点，若|AF1|=3|BF1|，

设F1，F2分别是椭圆x^2+y^2/b^2=1(0＜b＜1)的左右焦点，过F1的直线交椭圆于AB两点，若|AF1|=3|BF1|，AF2⊥x轴，求椭圆的方程
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Answer 1

F1(-c,0)
F2(c,0)
因为AF2⊥x轴，所以xA=c，又因为|AF1|=3|BF1|，所以(xA-xF1)=3(xF1-xB)，即

xB=xF1-(xA-xF1)/3=-5c/3
设AB：y=k(x+c)，代入椭圆方程得
(k^2+b^2)x^2+2ck^2x+k^2c^2-b^2=0
由韦达定理，
xA+xB=-2ck^2/(k^2+b^2)
xAxB=(k^2c^2-b^2)/(k^2+b^2)
即
-2c/3=-2ck^2/(k^2+b^2) <=> k^2=b^2/2
-5c^2/3=(k^2c^2-b^2)/(k^2+b^2)=(b^2c^2/2-b^2)/(3b^2/2)=(c^2-2)/3
得c=√3/3
所以b^2=1-c^2=2/3，椭圆方程为x^2-3y^2/2=1