Question

高中数学导数问题求解

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得g（x）=ex，从而化简f（x）=x2•ex-1-
1
3
x3-x2，再求导f′（x）=（2x+x2）•ex-1-x2-2x=x（x+2）（ex-1-1），由导数的正负确定函数的单调性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数y=f（x）在[-1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，在（1，2ln3]上是增函数；从而比较f（-1）与f（1）的大小即可．
(Ⅰ)由题意,g(x)=ex,f(x)=x2⋅ex−1−13x3−x2，
∴f′(x)=(2x+x2)⋅ex−1−x2−2x=x(x+2)(ex−1−1)，
令f′(x)=0得，
x=−2或x=0或x=1；
故当x∈(−∞,−2)∪(0,1)时,f′(x)<0；
当x∈(−2,0)∪(1,+∞)时,f′(x)>0；
故函数y=f(x)的单调增区间为(−2,0)和(1,+∞)；
单调减区间为(−∞,−2)和(0,1).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
函数y=f(x)在[−1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数，
在(1,2ln3]上是增函数，
且f(−1)=1e2−23<0,f(1)=−13>f(−1)；
故y=f(x)在[−1,2ln3]上的最小值为1e2−23.

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Answer 2

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