Question

如何判断函数在某点是否可导和连续

Answer 1

判断如下：

1、如果对于任意不论多么小的正数e，总能找到一个正数o（依赖于e），使得对满足不等式|x-x0|<e的所有x都有|f(x)-f(x0)|<e，那么就说函数f(x)在x=x0是连续的。

依赖于的意思是通过e得到o，例如o=e^3，注意这种关系不能倒过来。形象地说就是没有断点。

2、如果差商[f(x0+d)-f(x0)]/d，当d不论从哪边趋于0时，都有唯一的极限f'(x0)，那么就说函数f(x)在x=x0是可微的。形象地说就是光滑。

3、连续是可导的必要不充分条件：

要判断函数在一点是否连续，要用极限的方法，就是这点左极限和右极限是否相等，相等就是连续的。要判断是否可导，是可导必定连续，如果不是连续，就不可导，如果连续，求这点的左导数和右导数，相等就是可导，不相等不可导。

扩展资料：

1、连续点：如果函数在某一邻域内有定义，且x->x0时limf(x)=f(x0)，就称x0为f(x)的连续点。

一个推论，即y=f(x)在x0处连续等价于y=f(x)在x0处既左连续又右连续，也等价于y=f(x)在x0处的左、右极限都等于f(x0)。

这就包括了函数连续必须同时满足三个条件：

1）函数在x0 处有定义；

2）x-> x0时，limf(x)存在；

3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。

初等函数在其定义域内是连续的。

2、连续函数：函数f(x)在其定义域内的每一点都连续，则称函数f(x)为连续函数。

3、连续性与可导性关系：连续是可导的必要条件，即函数可导必然连续；不连续必然不可 导；连续不一定可导。典型例子：含尖点的连续函数。

如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

参考资料来源：百度百科——函数可导性与连续性

Answer 2

函数连续可导，但函数可导可不一定连续，所以先考虑怎么分析函数是否连续。设一个函数y=f(x), x在它的定义域内，y有意义。我们接下来谈的都是在x的定义域内。先在x的定义域内任意区一点x',那么y'=f(x'), 我们借助极限的概念， 当x从左边趋近于x'时，看看y是否趋近于y'；同理，当x从右边趋近于x'时，看看y是否趋近于y'。如果都成立，我们可以说函数y=f(x), x在它的定义域内是连续的，否则不连续。由函数的连续，可以得到此函数可导。
关于函数的导数和连续有下面四点结论：
1、连续的函数不一定可导.
2、可导的函数是连续的函数.
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑.
4、存在处处连续但处处不可导的函数.
左导数和右导数存在且“相等”,才是函数在该点可导的充要条件,不是左极限=右极限（左右极限都存在）.连续是函数的取值,可导是函数的变化率,当然可导是更高一个层次.

Answer 3

Answer 4

引用无殇洛城的回答：
函数连续可导，但函数可导可不一定连续，所以先考虑怎么分析函数是否连续。设一个函数y=f(x), x在它的定义域内，y有意义。我们接下来谈的都是在x的定义域内。先在x的定义域内任意区一点x',那么y'=f(x'), 我们借助极限的概念， 当x从左边趋近于x'时，看看y是否趋近于y'；同理，当x从右边趋近于x'时，看看y是否趋近于y'。如果都成立，我们可以说函数y=f(x), x在它的定义域内是连续的，否则不连续。由函数的连续，可以得到此函数可导。
关于函数的导数和连续有下面四点结论：
1、连续的函数不一定可导.
2、可导的函数是连续的函数.
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑.
4、存在处处连续但处处不可导的函数.
左导数和右导数存在且“相等”,才是函数在该点可导的充要条件,不是左极限=右极限（左右极限都存在）.连续是函数的取值,可导是函数的变化率,当然可导是更高一个层次.

可导必连续