Question

高二导数，急求

Answer 1

f(x)=x+alnx 定义域x>0
f'(x)=1+a/x
当a≥0时，f'(x)>0 f(x)全定义域单调递增
a<0时,驻点x₀=-a
f''(x)=-a/x²>0 驻点为极小值点
∴x∈(0,-a) f(x)单调递减 x∈(-a,+∞) f(x)单调递增
(2)x∈[1,2] 都有f(x)>0成立
则有f(2)=2+aln2>0成立→a<-2/ln2
a>0 由(1)知 f(x)单调递增 f(x)≥f(1)=1>0 恒成立
-2/ln2<a<0时 驻点x₀=-a 0<x₀<2/ln2
∴当-1<a<0时，给定区间在极小值点右侧，f(x)单调递增f(x)≥f(1)=1>0 恒成立
当-2≤a≤-1时, 给定区间包含极小值点，最小值f(-a)=-a-aln(-a)
f'(-a)=-2-ln(-a)<0 f(a)单调递减 最小值f[-(-1)]=1>0 不等式恒成立
-2/ln2<a<-2 给定区间在极小值点左侧，f(x)单调递减 最小值=f(2)>0,不等式恒成立
∴a的取值范围a>-2/ln2
(3)P(1,3) 切线：y-3=k(x-1)
设切点的横坐标为x₀，由导数的几何意义k=1+a/x₀
∴x₀+alnx₀-3=(1+a/x₀)(x₀-1) ①
令g(x)=x+alnx-(1+a/x)(x-1)-3
g'(x)=a(x-1)/x=a-a/x
驻点x=1 g(1)=-2
g''(x)=a/x²
∴a>0 g''(x)>0 g(1)=-2为极小值 g(x)有两个零点，即方程①有两解，可以作两条切线。
a=0 f(x)退变成直线，无切线。
a<0 g''(x)<0 g(1)=-2为极大值 g(x)无零点，即方程①无实数解，无切线。

Answer 2

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Answer 3

先求导，再讨论a取值

Answer 4