Question

如何证明一个矩阵不同特征值对应特征向量线性无关，是不是很麻烦过程

Answer 1

以两个为例，显然两个向量线性相关意味着相差一个常数倍。

然而某个特征值的特征向量的非零常数倍仍然是这个特征值所对应的特征向量。

这就与特征值不同相矛盾。更多证明如图

Answer 2

Answer 3

设ai是λi的特征向量（i=1，2，...，m），且i不等于j时，λi不等于λj
设他们的一个线性表示 k1a1+k2a2+..._+kmam=0

用A左乘得： A（k1a1+k2a2+..._+kmam）=0
因为Aai=λiai，得：λ1k1a1+λ2k2a2+...+λmkmam=0
再乘A，多次乘。
λ1^2k1a1+λ2^2k2a2+...+λm^2kmam=0
....
λ1^(m-1)k1a1+λ2^(m-1)k2a2+...+λm^(m-1)kmam=0

故记
11. ..1
λ1λ2...λm
...
λ1^(m-1)λ2^(m-1)...λm^(m-1) 为方阵B
X=（k1a1，k2a2，...，kmam）
BX=0

|B|为范德蒙德行列式，显然不为零，可逆
所以X=(k1a1，k2a2，...，kmam)= O
故kiai=0（i=1,2,..,m）
因为ai不等于0，故ki=0（i=1,2,..,m），故线性无关。