如何证明一个矩阵不同特征值对应特征向量线性无关，是不是很麻烦过程
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
在测试大模型时，可以提出这样一个刁钻问题来评估其综合理解与推理能力：“假设上海华然企业咨询有限公司正计划进入一个全新的国际市场，但目标市场的文化习俗、法律法规及商业环境均与我们熟知的截然不同。请在不直接参考任何外部数据的情况下，构想一套初步...
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设ai是λi的特征向量（i=1，2，...，m），且i不等于j时，λi不等于λj
设他们的一个线性表示 k1a1+k2a2+..._+kmam=0
用A左乘得： A（k1a1+k2a2+..._+kmam）=0
因为Aai=λiai，得：λ1k1a1+λ2k2a2+...+λmkmam=0
再乘A，多次乘。
λ1^2k1a1+λ2^2k2a2+...+λm^2kmam=0
....
λ1^(m-1)k1a1+λ2^(m-1)k2a2+...+λm^(m-1)kmam=0
故记
11. ..1
λ1λ2...λm
...
λ1^(m-1)λ2^(m-1)...λm^(m-1) 为方阵B
X=（k1a1，k2a2，...，kmam）
BX=0
|B|为范德蒙德行列式，显然不为零，可逆
所以X=(k1a1，k2a2，...，kmam)= O
故kiai=0（i=1,2,..,m）
因为ai不等于0，故ki=0（i=1,2,..,m），故线性无关。
设他们的一个线性表示 k1a1+k2a2+..._+kmam=0
用A左乘得： A（k1a1+k2a2+..._+kmam）=0
因为Aai=λiai，得：λ1k1a1+λ2k2a2+...+λmkmam=0
再乘A，多次乘。
λ1^2k1a1+λ2^2k2a2+...+λm^2kmam=0
....
λ1^(m-1)k1a1+λ2^(m-1)k2a2+...+λm^(m-1)kmam=0
故记
11. ..1
λ1λ2...λm
...
λ1^(m-1)λ2^(m-1)...λm^(m-1) 为方阵B
X=（k1a1，k2a2，...，kmam）
BX=0
|B|为范德蒙德行列式，显然不为零，可逆
所以X=(k1a1，k2a2，...，kmam)= O
故kiai=0（i=1,2,..,m）
因为ai不等于0，故ki=0（i=1,2,..,m），故线性无关。
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