近世代数问题 环的同态，求解 图里面的第二个题，就是det下面那个
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(1)只需验证加法封闭和求逆封闭即可，其他性质明显成立。
任取a,b∈ker(τ)，则τ(a)=τ(b)=0，τ(a+b)=τ(a)+τ(b)=0，所以a+b∈ker(τ)，加法封闭。又0=τ(0)=τ(a+(-a))=τ(a)+τ(-a)，所以τ(-a)=-τ(a)=-0=0，即-a∈ker(τ)，求逆也封闭，证毕。
(2)τ(a·b)=τ(a)⊙τ(b)=τ(a)⊙0=0，所以a·b∈ker(τ)。
任取a,b∈ker(τ)，则τ(a)=τ(b)=0，τ(a+b)=τ(a)+τ(b)=0，所以a+b∈ker(τ)，加法封闭。又0=τ(0)=τ(a+(-a))=τ(a)+τ(-a)，所以τ(-a)=-τ(a)=-0=0，即-a∈ker(τ)，求逆也封闭，证毕。
(2)τ(a·b)=τ(a)⊙τ(b)=τ(a)⊙0=0，所以a·b∈ker(τ)。
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2024-10-13 广告
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