Question

已知矩阵a=(2 4 8,1 2 4,-3 -6 -12),求a^100

Answer 1

最笨的办法：用矩阵乘法定义，反复计算乘法

第2繁重的办法：
先求出矩阵A的特征值，
然后利用特征值和特征向量将矩阵对角化
将特征方程，求出基础解系，再两两正交单位化，得正交矩阵P
然后利用A=P⁻¹BP，其中B是对角阵
求A的100次幂，等于P⁻¹B¹⁰⁰P

最简单的办法：
A=
2 4 8
1 2 4
-3 -6 -12

= (2 1 -3)T*(1 2 4)
= aTb
其中T表示转置。
因此A¹⁰⁰ = (aTb )¹⁰⁰
=aT(baT)⁹⁹b
=(baT)⁹⁹ aTb
=(baT)⁹⁹ A
注意到，baT=(1 2 4)*(2 1 -3)T=2+2-12=-8
=(-8)⁹⁹A
=-8⁹⁹A
=
-2*8⁹⁹ -4*8⁹⁹ -8*8⁹⁹
-1*8⁹⁹ -2*8⁹⁹ -4*8⁹⁹
3*8⁹⁹ 6*8⁹⁹ 12*8⁹⁹

=
-2*8⁹⁹ -4*8⁹⁹ -8¹⁰⁰
-8⁹⁹ -2*8⁹⁹ -4*8⁹⁹
3*8⁹⁹ 6*8⁹⁹ 12*8⁹⁹

Answer 2

提示，先把a^2算出来，看看和a有什么关系