Question

P是双曲线x2/a2-y2/b2=1,(a b大于0)上一点 F1F2为焦点，PF1与渐近线平行，

P是双曲线x2/a2-y2/b2=1,(a b大于0)上一点 F1F2为焦点，PF1与渐近线平行，角F1PF2=90°，则离心率为?

Answer 1

∵x²/a²-y²/b²=1
∴c=√(a²+b²)
∴F1（-√(a²+b²)，0），F2（+√(a²+b²)，0）
∵渐近线x/a±y/b=0，即y=±(b/a)x
又，PF1与渐近线平行，角F1PF2=90°
∴xF1＜xP＜xF2
∴当yP＞0时，∴kPF1=b/a，kPF2=-a/b
∴y/{x+√(a²+b²)}=b/a；y/{x-√(a²+b²)}=-a/b
{x-√(a²+b²)}/{x+√(a²+b²)}=-b²/a²
a²{x-√(a²+b²)}+b²{x+√(a²+b²)}=0
(a²+b²)x=(a²-b²)√(a²+b²)
x=(a²-b²)/√(a²+b²)
y=b/a{x+√(a²+b²)}=b/a{a²-b²+a²+b²}/√(a²+b²) = 2ab/√(a²+b²)
x²/a²-y²/b²=1
(a²-b²)²/{a²(a²+b²)} - 4a²b²/{b²(a²+b²)} = 1
b²(a²-b²)² - 4a²b²*a² = a²b²(a²+b²)
a^4b²-2a²b^4+b^6-4a^4b²= a^4b²+a²b^4
-3a²b^4+b^6-4a^4b² = 0
b^4-3a²b²-4a^4 = 0
(b²+a²)(b²-4a²)=0
(b/a)²=4
e=√(a²+b²)/a = √{1+(b/a)²} = √(1+4) = √5

Answer 2