二元函数求极限 100
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沿不同曲线趋于时极限如果不同的话那么极限是不存在的,这个是证明多元函数极限不存在的方法极限是微积分学的基础,导数、积分等概念都是在极限的基础上建立起来的.从极限理论出发产生的极限方法,是数学分析的最基本的方法.更好地理解极限思想,掌握极限理论,应用极限方法是学习微积分的关键.一元函数的极限及求法,在各种高等数学教材中都有详细的讨论.除了常用的定义、运算法则、连续性方法,本文给出了六种适用性较强的二元函数极限计算方法,希望对初学者有一定帮助.一、变量替换(转化为一元函数计算)
例1lim(x,y)→(0,0)1-cos(x2+y2)x2+y2.解令t=x2+y2,则当(x,y)→(0,0)时,t→0,所以lim(x,y)→(0,0)1-cos(x2+y2)x2+y2=limt→01-costt=limt→0t22t=limt→0t2=0.二、利用无穷小替换例2lim(x,y)→(0,0)sin(x3+y3)x+y.解因为当(x,y)→(0,0)时,x3+y3→0,所以sin(x3+y3)～x3+y3,于是lim(x,y)→(0,0)sin(x3+y3)x+y=lim(x,y)→(0,0)x3+y3x+y=lim(x,y)→(0,0)(x2-xy.
例1lim(x,y)→(0,0)1-cos(x2+y2)x2+y2.解令t=x2+y2,则当(x,y)→(0,0)时,t→0,所以lim(x,y)→(0,0)1-cos(x2+y2)x2+y2=limt→01-costt=limt→0t22t=limt→0t2=0.二、利用无穷小替换例2lim(x,y)→(0,0)sin(x3+y3)x+y.解因为当(x,y)→(0,0)时,x3+y3→0,所以sin(x3+y3)～x3+y3,于是lim(x,y)→(0,0)sin(x3+y3)x+y=lim(x,y)→(0,0)x3+y3x+y=lim(x,y)→(0,0)(x2-xy.
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