Question

高数偏导数的矛盾

z=(x^2+y^2)^1/2根据求偏导数的定义 就是取极限 和把y看成常数求导数得到的偏导数 不一样
这个函数不连续 但是 偏导数存在不需要连续啊 很糊涂 望高人指点 多谢啊

Answer 1

偏导数定义：

x方向的偏导
设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数(partial derivative)。记作f'x(x0,y0)。
y方向的偏导
函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数
同样，把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限存在
那么此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.记作f'y(x0,y0)

因此，根据无穷小量展开，算极限和使用公式计算的结果应该是一样的。

此题中阁下算lim [sqr((x+dx)^2+y^2)-sqr(x^2+y^2)]/dx的方法不对。
lim [sqr((x+dx)^2+y^2)-sqr(x^2+y^2)]/dx
=lim[sqr((x+dx)^2+y^2)-sqr(x^2+y^2)]*[sqr((x+dx)^2+y^2)+sqr((x^2+y^2)]/)]*[sqr((x+dx)^2+y^2)+sqr(x^2+y^2)]*dx)
=dx*dx+2*x*dx/([sqr((x+dx)^2+y^2)+sqr(x^2+y^2)]*dx)(略去高阶无穷小)
=x/sqr(x^2+y^2)（分母可以认为是两个sqr(x^2+y^2)，因为和分子X比dx是高阶无穷小）
与你的前一个式子结果相同。

Answer 2

你用定义求偏导数的时候，做错了，分子上去掉根号应该有绝对值！

分子上是|△x|，分母上是△x，左右极限不相等，所以极限不存在