Question

谁能跟我解释一下例题3方法2的先二后一法是什么啊？式子里为什么对Z的积分是从0~R?dxdy的积分

谁能跟我解释一下例题3方法2的先二后一法是什么啊？式子里为什么对Z的积分是从0~R?dxdy的积分结果为π（R²－Z²）怎么得来的？

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Answer 1

先二后一法，
是指先在竖坐标为z的截面上先对dxdy积分【其它情况类似】

本题中，竖坐标为z的截面为
x²+y²=R²-z²
这是一个圆，
半径为√(R²-z²)
所以，积分为
∫∫(Dz)dxdy=π(R²-z²)
【1的二重积分等于区域Dz的面积】

追答

至于z的范围，
很明显，上半球体，
下限为0，上限是R

追问

下界是0我懂，但上限为什么不是带这个？

我之前看过一题，下图

追答

重积分，作为外层积分的上下限都是常数

追问

追答

这是一个基本准则，
否则就乱套了，
你拿的例子，
最外层(dx)的积分，
为什么不写成
0→1-2y-z 呢？

内层积分的上下限可以是函数，
最外层积分上下限必须是常数

追问

为什么我用你说的方法算不到答案啊？

我哪搞错了吗？

追答

被积函数为x，
应该找垂直于x轴的截面，
截面为直角三角形，
面积为
1/2·(1-x)·(1-x)/2=1/4·(1-x)²
所以，
原式=∫(0→1)x·1/4·(1-x)²dx
=……

追问

懂了，谢谢！