Question

证明函数f(x)=x+1/x在（0，1】上是单调递增的

帮帮忙
是递减

Answer 1

证明：设0<x1<x2<=1
则
f(x1)-f(x2)=
x1+1/x1-x2-1/x2
=(x1-x2)-(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
0<x1<x2<=1
则x1-x2<0
0<x1x2<1,则1/x1x2>1
则1-1/x1x2<0
则(x1-x2)(1-1/x1x2)>0
则f(x1)-f(x2)>0
则f(x)在（0，1】上是单调递减的

Answer 2

题目是不是错了啊，应该是单调递减吧

设 a，b 属于（0，1]且a＞b
则f(a)-f(b)=[a+1/a]-[b+1/b]
=[(a^2)b+b-a(b^2)-a]/(ab)
=[(a^2)b-a-a(b^2)+b]/(ab)……………………移项
=[a(ab-1)-b(ab-1)]/ab
=[(a-b)(ab-1)]/ab
因为a＞b 所以a-b＞0
因为a，b 属于（0，1] 所以ab＜1 即ab-1＜0
所以[(a-b)(ab-1)]/ab＜0
故f(a)-f(b)＜0 即 f(a)＜f(b)
所以递减

Answer 3

定义法:(若f(x)在(a,b)上是增(减)函数,则有对于任意x1,x2属于(a,b),且x1大于x2,都有f(x1)-f(x2)大于(小于)0.
任取
0<x1<x2<1
则f(x1)=x1+1/x1
f(x2)=x2+1/x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)[1-1/(x1x2)]
x1-x2<0
1-1/(x1x2)<0
所以f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
又x1<x2
所以是减函数

Answer 4

方法一，求导
f(x)=x+1/x的导函数是g(x)=1-1/x^2，在（0，1】上是小于零的，所以是单调减函数，
方法二，对任意x1，x2属于（0，1】且x2<x1
f(x1)-f(x2)=x1-x2+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)-(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
(x1-x2)是大于零的 但是(1-1/x1x2)小于零，所以函数是单调减函数 注意要有“对任意”，这符合数学的逻辑性

Answer 5

y=1+1/x,所以是单调递减的