Question

求证 f（x）在有限区间（a，b）内一致连续，则f（x）在（a，b）内必有界

Answer 1

反证法。若无界，
对任意ε>0,存在δ>0,使得x1,x2属于（a,b),且两数差的绝对值<δ时，两数函数值的绝对值<ε.
任取xn属于(a,b)，xn的极限为a+,则{xn}为柯西数列。故存在正整数N，当m,n>N时，xn,xm的绝对值<δ,故两函数值的绝对值<ε,从而{f(xn)}为柯西数列，故{f(xn)}收敛。任意xn1,xn2趋于a+(n趋于无穷大)，显然有
x11,x12,x21,x22,…,xn1,xn2,…趋于a+.
可知f(xn1),f(xn2)的极限均为a+
可知{f(x)}当x趋于a的极限存在有限。
同理可得其他
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