Question

已知集合A={X|X²-4mx+2m+6=0,x∈R},B={X|X<0,X∈R}.若A∩B≠空集，求m的取值范围

Answer 1

解设f(x)=x²-4mx+2m+6,A交B不等于空集即f(x)与x轴负半轴有交点，则有
△=16m²-4(2m+6)=8(2m²-m-3)=8(m+1)(2m-3)≥0
解得m≥3/2或m≤-1
f(x)图像是条开口向上，对称轴为x=2m的抛物线
当m≥0时，要使f(x)与x轴负半轴有交点，则有
f(0)=2m+6<0,即m<-3
则此时无法取到这样的m
当m<0时，只要△≥0即有f(x)与x轴负半轴有交点
则此时m≤-1

综上所述，m≤-1

Answer 2

x^2-4mx+2m+6=0
△=16m^2-4(2m+6)=16m^2-8m-24=8(2m-3)(m+1)≥0
m≥3/2,或，m≤-1

x<0有解
排除x1+x2≥0, 且： x1x2≥0
x1+x2=4m≥0,m≥0（为什么X1+X2=4m)
x1x2=2m+6≥0,m≥-3
所以，排除:m≥0

所以，实数m的取值范围：m≤-1