高等数学，反函数求导问题，这样做对还是错？为什么？详细的原因 100
2个回答
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当然不对。
在这里写反函数的时候，不能将x和y调换。
即y=arctanx的反函数是x=tany才对
所以x=tany，dx/dy=（tany）'=sec²y
你们dy/dx=1/（dx/dy）=1/sec²y=cos²y=cos²y/（cos²y+sin²y）=1/（1+sin²y/cos²y）=1/（1+tan²y）=1/（1+x²）
这样才是对的。
在这里写反函数的时候，不能将x和y调换。
即y=arctanx的反函数是x=tany才对
所以x=tany，dx/dy=（tany）'=sec²y
你们dy/dx=1/（dx/dy）=1/sec²y=cos²y=cos²y/（cos²y+sin²y）=1/（1+sin²y/cos²y）=1/（1+tan²y）=1/（1+x²）
这样才是对的。
追问
追答
记住，我们知道，有所谓的原函数和反函数的导数互为倒数的性质。
但是这是怎么来的呢？
其实就是某个函数y=f（x），在x=0点的切线，设为y=ax+b
这个切线以x为自变量求出来的斜率，即△y/△x=a
以y为自变量求出来的斜率，即△x/△y=1/a
所以△y/△x*△x/△y=1
那么y=f（x）和x=f^-1（y）在同一点（x0，f（x0））的斜率乘积为1
而不是说y=f（x）和y=f^-1（x）在x=x0点的斜率乘积为1
所以必须保证在同一个x-y坐标系中，是同一个图像，在同一点分别以x为自变量和以y为自变量的两种情况下，算出来的斜率乘积才是1
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