Question

其中仅有零解是不是可以和有唯一解合并成一个？为什么同济线性代数克莱姆法则是系数行列式不等于零有唯一

其中仅有零解是不是可以和有唯一解合并成一个？为什么同济线性代数克莱姆法则是系数行列式不等于零有唯一解，而其他书都说有唯一零解。唯一解与唯一零解一样吗？

Answer 1

如果B矩阵，即常数项矩阵是0矩阵，
即Ax=0，这个方程组，必然有x=0这个零解。
如果这个方程组只有唯一的解，那么就是唯一0解。
如果B矩阵不是0矩阵，即Ax=B，那么x=0必然不是这个方程组的解
所以这个方程组只有唯一解，那么这个唯一解当然不是0解。
所以唯一0解当然是唯一解的一种。
B=0矩阵的时候，这个唯一解就是唯一0解。当B≠0矩阵的时候，这个唯一解就不是0解。

追问

那么图片中的仅有零解和有唯一解可以合并吗？是不是仅有零解的时候矩阵的秩等于n而且也等于增广矩阵？

追答

可以合并，唯一0解的时候，增广矩阵和矩阵的秩当然等于n
事实上Ax=0这个方程组的增广矩阵A|0和A的秩必然相等。
所以AX=0不可能无解。必然有解。
而且解AX=0是解AX=B的基础。
所以学习的时候，先学解AX=0这类方程组，再学AX=B这类方程组。
因为学习的先后，所以才分开说。
都学了后，可以合并到一起说。

Answer 2

对于齐次方程，肯定有零解。唯一解也就是指零解。两种说法是一样的。

追问

那么图片中的仅有零解和有唯一解可以合并吗？是不是仅有零解的时候矩阵的秩等于n而且也等于增广矩阵？

追答

仅有零解是对于齐次方程。前两项是指齐次方程，后三项是指非齐次方程。

Answer 3

对于齐次线性方程，其增广矩阵可以看作是在方程组系数向量后加了一组同维列向量，所以其不存在无解一说，因为无论如何系数矩阵和增广矩阵的秩一定是相等的。当R(A)=N时此时方程组有唯一解，为和非其次区分可以叫做（零解），当R(A)<N时此时方程组有无穷解，为和非其次区分可以叫做（非零解）
但是对于非其次方程，方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，这时候可能会出现方程组个数少于未知数个数的情况，此时对应方程组有无穷解，即R(A)=R(A.B)<N.但是当R（A）=R(A,B)=N时，此时方程组仅有唯一解。
所以LZ图中的两个解的概念不能合并，因为一个对应齐次方程，一个对应非齐次方程。