【高数】夹逼求极限，要过程。 30
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解：分享一种解法。
∵(1^2+1)^(1/2)+(2^2+2)^(1/2)+……+(n^2+n)^(1/2)-n(n+1)/2=∑(k^2+k)^(1/2)-∑k=∑[(k^2+k)^(1/2)-k]=∑k/(k^2+k)^(1/2)+k]，(k=1,2,……,n)，
∴原式=lim(n→∞)(1/n)∑k/(k^2+k)^(1/2)+k]。
又，k≤(k^2+k)^(1/2)≤k+1，∴2k≤(k^2+k)^(1/2)+k≤2k+1，∴∑k/(2k+1)≤∑k/[(k^2+k)^(1/2)+k]≤∑k/(2k)，而∑k/(2k+1)与∑k/(2k)是等价的，有相同敛散性，
∴n/2≤∑k/[(k^2+k)^(1/2)+k]≤n/2，∴原式=1/2。
供参考。
∵(1^2+1)^(1/2)+(2^2+2)^(1/2)+……+(n^2+n)^(1/2)-n(n+1)/2=∑(k^2+k)^(1/2)-∑k=∑[(k^2+k)^(1/2)-k]=∑k/(k^2+k)^(1/2)+k]，(k=1,2,……,n)，
∴原式=lim(n→∞)(1/n)∑k/(k^2+k)^(1/2)+k]。
又，k≤(k^2+k)^(1/2)≤k+1，∴2k≤(k^2+k)^(1/2)+k≤2k+1，∴∑k/(2k+1)≤∑k/[(k^2+k)^(1/2)+k]≤∑k/(2k)，而∑k/(2k+1)与∑k/(2k)是等价的，有相同敛散性，
∴n/2≤∑k/[(k^2+k)^(1/2)+k]≤n/2，∴原式=1/2。
供参考。
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