Question

高数！求助： 求旋转抛物面z=1/2(x2+y2)介于z=0与z=1/2之间的面积 （求详细过程）

求详细！

Answer 1

s= ∫∫√1+Zx²+Zy²dxdy
=∫∫√(1+x²+y²)dxdy
=∫dθ∫(1+ρ²)ρdρ (0《θ《2π ，0《ρ《1）
=3/2•π

追问

“=∫dθ∫(1+ρ²)ρdρ (0《θ《2π ，0《ρ《1）” 你是不是把根号忘了，，，

最后等于根号2*π？

追答

抱歉，漏根号了。
s= ∫∫√1+Zx²+Zy²dxdy
=∫∫√(1+x²+y²)dxdy
=∫dθ∫√1+ρ² ρdρ (0《θ《2π ，0《ρ《1）
=1/2∫dθ∫√1+ρ² d(1+ρ²) (0《θ《2π ，0《ρ《1）
=1/2•2π•2/3•(1+ρ²)^(3/2) (0《ρ《1）
=(2√2-1)2/3•π

抱歉，漏根号了。
s= ∫∫√1+Zx²+Zy²dxdy
=∫∫√(1+x²+y²)dxdy
=∫dθ∫√1+ρ² ρdρ (0《θ《2π ，0《ρ《1）
=1/2∫dθ∫√1+ρ² d(1+ρ²) (0《θ《2π ，0《ρ《1）
=1/2•2π•2/3•(1+ρ²)^(3/2) (0《ρ《1）
=(2√2-1)2/3•π

追问

答案貌似是4/3*根号2*π。。。。。

追答

又检查了一下，我做的应该是对的。得(2√2-1)2/3•π

又检查了一下，我做的应该是对的。得(2√2-1)2/3•π

追问

求教 （√1+r）r 这个东西怎么积分对r积分 、、、

追答

这里是
∫√1+ρ² ρdρ
=1/2∫√1+ρ² d(1+ρ²）
=1/2•2/3•(1+ρ²)^(3/2)

用的是凑微分的方法

如果说 （√1+r）r 这个东西怎么积分对r积分 、、、
则应令√1+r）=t, r=t²-1,dr=2tdt
换元后，可积得。

追问

非常感谢！麻烦你了